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Donnerstag, 28. November 2013

Rendezvous von Natur, Mathematik und Kunst: Fraktale

Von Andrea Schorsch

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Seit Mitte der 1980er Jahre faszinieren sie die Menschen: Fraktale. Hochkomplexe, hübsch eingefärbte Strukturen, die ... (Foto: imago stock&people/imagebroker/saurer)

Seit Mitte der 1980er Jahre faszinieren sie die Menschen: Fraktale. Hochkomplexe, hübsch eingefärbte Strukturen, die ...

Seit Mitte der 1980er Jahre faszinieren sie die Menschen: Fraktale. Hochkomplexe, hübsch eingefärbte Strukturen, die ...

... ohne gerade Linien auskommen und durch eine Besonderheit auffallen: ...

... Betrachtet man einzelne Teiles eines Fraktals, stößt man ...

... im Detail auf Strukturen, die man aus dem größeren Bild bereits kennt. So wie auch bei ...

... Romanesco, einem natürlichen Beispiel für Fraktale. Jedes einzelne Röschen hat fast die gleiche Form wie der gesamte Kohlkopf.

Und die Einzelteile der Röschen spiegeln abermals den Aufbau des Ganzen wider. Selbstähnlichkeit wird diese Fraktal-Eigenschaft genannt.

In der Natur gibt es Fraktale überall: in den Verästelungen von Bäumen etwa. Denn die Aufteilung des Stamms in Äste ...

... wiederholt sich bei der anschließenden Gliederung in Zweige.

Auch Eiskristalle sind in ihrer Struktur selbstähnlich und damit Fraktale. Gleiches gilt für ...

... Gebirgszüge, ...

... die Mondoberfläche, ...

... unsere Lungen und ...

... Blutgefäße oder auch ...

... für Küstenlinien. Die Küste Großbritanniens war es, die ...

... den Mathematiker Benoit Mandelbrot 1967 das Phänomen der Fraktale entdecken ließ. Er war dem Rätsel nachgegangen, warum es viele verschiedene Angaben zur Gesamtlänge der britischen Küste gab. Das Ergebnis seiner Analyse: ...

... Je kürzer der Maßstab, je genauer die Abmessung, umso länger wurde die Küste. Und nicht nur das. Schaute man sich ...

... Küstenlinien im Detail an, stellte man fest, dass ein kleiner Ausschnitt in seiner Struktur der größeren Strecke stark ähnelt. Die Form hat keinen glatten Rand, sondern ist gezackt und gebrochen. Mandelbrot nannte sie deshalb Fraktal. Es ist unmöglich, eine verlässliche Angabe zur Länge einer Küstenlinie zu machen, denn ...

... man kann, ähnlich wie bei der hier abgebildeten Kochschen Schneeflocke, beliebig weit ins Detail gehen; man kommt nie am Ende an, sondern landet stets in einer weiteren Wiederholung der Struktur. Mathematisch betrachtet ist die Länge der Linie unbegrenzt.

Fraktale zu schaffen ist nicht schwer. Wird eine glatt aussehende Form fragmentiert, also unterteilt, und unterteilt man auch diese Unterteilungen wieder, ist das Ergebnis ein Fraktal.

Ob man ranzoomt oder wegzoomt: Das Objekt sieht immer weitgehend gleich aus.

Fraktale sind die endlose Anwendung einer Wiederholung. Mathematisch spricht man von Iteration. Mandelbrot fand eine simple, ...

... mit komplexen Zahlen funktionierende Formel zur Berechnung von Fraktalen ...

... und damit auch zur Berechnung von rauhen, verwinkelten, zerklüfteten und eben nicht glatten Formen, wie sie die Natur hervorbringt.

Mandelbrot beschritt damit gänzlich neue Wege. Bislang waren die Formen der Natur mathematisch nicht darstellbar gewesen. Die klassische Mathematik ...

... konnte glatte Formen beschreiben, Kegel, Quader, Kugeln, nicht aber ...

... chaotische. Mandelbrot jedoch hatte eine Ordnung in dem scheinbaren Chaos entdeckt. Damit konnte er später auch zeigen, dass Mathematik und ...

... Kunst gar nicht weit auseinanderliegen müssen. Mathematik hatte plötzlich eine attraktive visuelle Seite. Sie wurde 1980 in Mandelbrots berühmtem Apfelmännchen offenkundig. Ursprünglich ...

... schwarz-weiß, ist das Apfelmännchen die computergrafische Umsetzung der Fraktal-Funktion, eines sich ständig wiederholenden Rechenzyklus, der das gerade erhaltene Ergebnis stets als Ausgangspunkt für die nächste Berechnung derselben Art nimmt. Immer und immer wieder.

Dass Apfelmännchen selbstähnlich sind, zeigt sich beim Zoomen. Physiker Wolfgang Beyer stellt es eindrucksvoll dar.

Die Spalte zwischen "Kopf" und "Körper" des Apfelmännchens wird auch "Tal der Seepferdchen" genannt. Dort werden schon zahlreiche weitere Apfelmännchen sichtbar.

Beim weiteren Zoomen tauchen links Doppelspiralen auf, rechts die "Seepferdchen".

Der Körper eines solchen "Seepferdchens" wird aus 25 "Speichen" gebildet. Diese finden sich ...

... auch im Schwanz des "Seepferdchens" wieder.

Zoomt man weiter, stößt man abermals auf ...

... ein Apfelmännchen. Selbstredend lässt sich auch an diesem ...

... wieder ein "Tal der Seepferdchen" ausmachen. Und so geht es ...

... immer weiter und weiter. Man beachte: Die Linie ist nie gerade, sie verzweigt sich immer weiter, je stärker man zoomt. Als Mandelbrot das Apfelmännchen ins Leben rief, brauchten die Rechner Tage, um ein Fraktal auf diese Weise zu visualisieren.

Heute sind die Computer leistungsstärker. Mittlerweile kann selbst ein Smartphone - mit der entsprechenden App - Fraktale produzieren. Jeder kann eintauchen ...

... in die geordnete Welt des Chaos.

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