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Das Weltraumteleskop Hubble erspäht die fernsten Galaxien im All. Was kommt danach?
Das Weltraumteleskop Hubble erspäht die fernsten Galaxien im All. Was kommt danach?(Foto: picture alliance / dpa)

Größer als grenzenlos: Gibt es das Unendliche?

Sie sind uns allen ein Begriff: die unendlichen Weiten des Weltraums. Woher aber wissen wir, dass das Universum unendlich ist? Oder ist es das gar nicht? Mathematikern ist klar: Es gibt das Unendliche. Sogar mehr als einmal. Und unterschiedlich groß. Wie das sein kann, erklärt Experte Achim Feldmeier vom Institut für Physik und Astronomie der Universität Potsdam. Er hat einen Blick für das Unendliche - aus unterschiedlichen Perspektiven.

n-tv.de: Herr Feldmeier, wir haben alle schon von den unendlichen Weiten des Weltraums gehört. Woher wissen wir denn, dass das Universum unendlich ist?

Achim Feldmeier: Das wissen wir gar nicht. Es gibt sogar die Vermutung, dass es - da es rund 13 Milliarden Jahre alt ist - womöglich auch nur 13 Milliarden Lichtjahre groß ist. Vielleicht ist es unendlich. Aber selbst wenn es so ist, können wir das nicht sehen. Wir können nur so weit sehen, wie sich das Licht seit dem Urknall zu uns hat ausbreiten können. Und das sind eben die 13 Milliarden Lichtjahre.

Also gibt es das Unendliche gar nicht wirklich?

Im Juni 2011 entdeckte ein europäisches Astronomenteam das bislang fernste kosmische Leuchtfeuer. Das Licht des Quasaren war 12,9 Milliarden Lichtjahre unterwegs, bis es uns erreichte. Der Kosmos ist etwa 13,7 Milliarden Jahre alt.
Im Juni 2011 entdeckte ein europäisches Astronomenteam das bislang fernste kosmische Leuchtfeuer. Das Licht des Quasaren war 12,9 Milliarden Lichtjahre unterwegs, bis es uns erreichte. Der Kosmos ist etwa 13,7 Milliarden Jahre alt.(Foto: picture alliance / dpa)

Da muss man zunächst einmal eine andere Frage klären: Was soll man sich unter Unendlichkeit vorstellen, wenn man diesen Begriff benutzt? In der Mathematik ist man da ziemlich weit. Dort hat man eine recht klare Vorstellung davon, was Unendlichkeiten sind. Und auf dieser Basis würden wohl auch die strengsten Mathematiker sagen: Das gibt es. Aber das "wirklich" würden sie vielleicht weglassen. Das Unendliche ist in der Mathematik eine klare Beschreibung, mit der man Sachen zusammenbauen kann und größer bauen kann, und immer noch größer. Und vielleicht sind diese Unendlichkeiten dann mehr als ein Gedankenkonstrukt.

Unendlichkeiten … Der Plural verwirrt. Gibt es mehr als eine Unendlichkeit?

Ja, das ist vielleicht die erstaunlichste Aussage überhaupt über das Unendliche. Im normalen Sprachgebrauch benutzt man es im Singular, und größer als unendlich geht nicht. Doch das erste, was man in der Mathematik ganz stringent beweisen kann, ist, dass es unendlich viele Unendlichkeiten gibt. Und jede ist echt größer als die darunter. So wie 5, 6, 7 eine Folge von drei größer werdenden Zahlen ist, so gibt es auch eine unendliche Folge immer größer werdender Unendlichkeiten. Es gibt eine Hierarchie der Unendlichkeiten.

Wie kann das sein? Wenn es Unendlichkeiten gibt, die größer sind als andere Unendlichkeiten, dann heißt das doch, dass so manche Unendlichkeit ihre Grenze hat. Denn es gibt ein anderes Unendliches, das größer ist. – Ist das nicht ein Widerspruch in sich?

Tja … Die Grenzen der Unendlichkeit beschäftigten Anfang des 19. Jahrhunderts schon Hegel in der "Wissenschaft der Logik" … - Sagen wir, wir zählen von 1, 2, 3 … bis unendlich. Das geht natürlich praktisch nicht. Aber wir stellen uns mal vor, das ginge. Und jetzt fragen wir uns: Was kommt dann danach? Wo ist die Grenze von diesem ersten Unendlich? Und da sagt man in der Mathematik einfach: Nimm alle diese unendlichen Zahlen und nimm sie dann nochmal. Dann hast du sie zweimal. Dieses Konstrukt, unendlich plus unendlich, das kann man sinnvoll logisch definieren. Und das ist eben mehr als einmal unendlich.

Lässt sich da noch ein Beispiel finden, das … sagen wir … mehr aus dem Leben gegriffen ist?

Er kennt sich aus mit Unendlichkeiten: Prof. Dr. Achim Feldmeier vom Institut für Physik und Astronomie der Universität Potsdam.
Er kennt sich aus mit Unendlichkeiten: Prof. Dr. Achim Feldmeier vom Institut für Physik und Astronomie der Universität Potsdam.(Foto: Privat)

Stellen wir uns eine Schlange am Tresen in der Bäckerei vor: Da steht der erste Kunde, der zweite, der dritte usw. Der vierte Kunde ist der, der drei andere vor sich hat. Da sagt nun die Mengenlehre: Dann ist die 5 die Menge, die aus vier anderen Zahlen besteht. Und die 7 ist die Menge, die aus sechs anderen Zahlen besteht. Und so kommt man dann zur Menge, die alle Zahlen enthält. Und das ist die Zahl unendlich. Sie enthält alle anderen Zahlen. – Und mit dieser relativ einfachen Vorschrift, wie man eine unendliche Menge baut, kann man noch weiter bauen. So wie man zum siebten Wartenden einen achten hinzufügen kann, so lässt sich zur Zahl unendlich noch eine Zahl hinzu addieren. Das ist eben eine längere Warteschlange.

Gut, das lässt sich nachvollziehen. Von "begreifen" will ich gar nicht sprechen … Kommen wir nochmal darauf zurück, dass man das Unendliche zählend natürlich nicht erreichen kann. Wie erreicht man es überhaupt?

Seit Jahrhunderten sagen die Philosophen: Man kann nicht ins Unendliche hinein denken. Wie weit man auch denkt, man ist immer noch nicht da. Aber die Mathematik bestätigt: Wenn man einmal im Unendlichen ist, dann kann man auch weiterzählen.

So ist es in der Mathematik. Wie ist es im "richtigen Leben"?

Da ist auch die umgekehrte Frage interessant: Wenn das Universum unendlich alt wäre, wie hat es dann jemals in der Jetztzeit ankommen können? Denn wenn wir nicht ins Unendliche zählen können, kann ja auch das Universum nicht von unendlich aus irgendwo mal ankommen. Diese Frage stellte sich Kant in der "Kritik der reinen Vernunft". Und er kam zu dem Schluss, dass das Universum also nicht unendlich alt sein kann. Aber – so folgerte er weiter – wenn es endlich alt wäre, dann hätte es davor etwas geben müssen. Und so zog er ein kluges Fazit: Weil beide Ergebnisse zu Unsinn führen, ist offensichtlich die ganze Frage noch nicht ausgereift. Er sagt in den "kosmologischen Antinomien", dass wir offenbar gar nicht so genau wissen, was wir meinen, wenn wir von unendlich sprechen. – Aber da hat eben die Mathematik im 20. Jahrhundert doch viele neue Fakten geschaffen, beinahe unendlich viele, indem sie den Begriff ganz sauber logisch gefasst hat. Wir müssen uns immer fragen, ob wir wirklich etwas Unendliches meinen, wenn etwas unendlich scheint.

Was zum Beispiel scheint denn unendlich, ohne unendlich zu sein?

Grenzenlos oder unendlich? Hinterm Horizont geht's weiter ...
Grenzenlos oder unendlich? Hinterm Horizont geht's weiter ...(Foto: picture alliance / dpa)

Der Horizont gaukelt uns Unendlichkeit vor, verhindert aber letztlich eben genau den Blick dorthin. Auch das so genannte Unbegrenzte, das Grenzenlose, ist ja nicht unbedingt etwas Unendliches. Der berühmte Mathematiker Bernhard Riemann hat das 1854 klar unterschieden. Wenn wir auf der Erdoberfläche immer geradeaus gehen, dann ist der Weg grenzenlos. Wir kommen nie an eine Mauer mit dem Weltende. Aber unendlich ist der Weg nicht. Denn die Kugeloberfläche ist endlich.

Unser Universum ist also auf jeden Fall grenzenlos, aber eben vielleicht nicht unendlich?

Ja, genau.

Wo konkret gibt es das Unendliche in der Mathematik?

Fangen wir mal klein an: In der Schule lernt man ja die Zahlenintervalle: Zwischen 0 und 1 liegen diverse Zahlen, das kann man sich noch irgendwie vorstellen. 0,1735 zum Beispiel, oder Pi/4, also die Kreiszahl, 3,14, und davon ein Viertel. Wenn man nun fragt, welche Zahlen zwischen 0 und 1 liegen, sind es unendlich viele. Und da wir gerade von Pi sprechen: Pi hat unendlich viele Nachkommastellen. Sie können sich die ersten 100.000 Nachkommastellen anschauen und stellen fest: Da ist kein Muster drin. Das geht immer weiter und weiter. Pi hat unendlich viele unvorhersehbare Stellen. Das ist so sicher wie das Amen in der Kirche.

Warum fasziniert uns das Unendliche so?

Der Beginn der Unendlichkeit: die ersten paar Nachkommastellen von Pi.
Der Beginn der Unendlichkeit: die ersten paar Nachkommastellen von Pi.

Es sind die Gegensatzpaare im Allgemeinen, die uns faszinieren, und die meisten können wir ja auch begreifen: gut - schlecht, Sein - Nichtsein. Das Gegensatzpaar, das wir nicht in den Griff bekommen, ist endlich - unendlich. Wir wollen gern eine Kontrolle über die Dinge haben, auch über das Unendliche. Aber empirisch haben wir keinerlei Fakt, der aufs Unendliche hinweist – abgesehen von den Zahlen. Man könnte Leute unendlich lange damit beschäftigen, die Nachkommastellen von Pi auszurechnen. Die würden nie fertig werden.
Und außerdem: Wir wissen, dass das Universum aus etwa 10 hoch 80 Atomen besteht. Diese 1 mit 80 Nullen hintendran kann man mit ein bisschen Mühe auf einem Blatt Papier in eine Zeile quetschen. Das ist gar nicht so viel. Und daher kommt vielleicht der Wunsch, mal mehr zu haben.

Mit Achim Feldmeier sprach Andrea Schorsch.

Quelle: n-tv.de

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