Den Satz des Pythagoras kennen viele aus der Schule. Auch Beweise der Formel a² + b² = c² gibt es viele, doch manche sind knifflig. Ein Wettbewerb an ihrer Highschool lockt zwei junge Frauen. Für ihre erfolgreiche Beweisführung erhalten sie Auszeichnungen und ein Lob von Ex-First-Lady Michelle Obama.

Zwei Mathematik-affine Nachwuchswissenschaftlerinnen aus den USA haben geschafft, was in der Fachwelt lange Zeit als unmöglich galt: Calcea Johnson und Ne'Kiya Jackson haben den berühmten Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) mit den Mitteln der Trigonometrie bewiesen, und zwar gleich mehrfach. Ihre Ergebnisse, die aus ihrer Highschool-Zeit stammen, wurden in der Zeitschrift "American Mathematical Monthly" veröffentlicht.

Die Krux bei der Beweisführung war, dass die Trigonometrie ein Teilgebiet der Geometrie ist. Deren grundlegende Formeln beruhen auf der Annahme, dass der Satz des Pythagoras wahr ist. Es droht also ein Zirkelschluss: eine Beweisführung, in der das zu Beweisende schon in der Voraussetzung steckt.

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Die Beweisführung ohne diesen Zirkelschluss sei professionellen Mathematikern erst zweimal geglückt, teilte der Verlag von "American Mathematical Monthly" mit. Ferner wurde der jahrtausendealte Lehrsatz bereits hundertfach mit anderen Disziplinen der Mathematik wie Algebra nachgewiesen.

Die neuen Beweise

Der Satz des Pythagoras ist eine der wenigen mathematischen Formeln, die viele Menschen noch aus dem Schulunterricht im Hinterkopf haben. Dabei geht es um die Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks: Die Summe der Quadrate der am rechten Winkel anliegenden Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c), die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Man kann also die Länge einer beliebigen Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn man die Länge der beiden anderen Seiten kennt.

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Calcea Johnson und Ne'Kiya Jackson haben in ihrer nun veröffentlichten Arbeit fünf Möglichkeiten vorgelegt, den Satz mithilfe der Trigonometrie zu beweisen. Hinzu kommt eine Methode, die fünf weitere Beweise ermöglicht. Dafür haben sie aus einem rechtwinkligen Dreieck ABC verschiedene neue rechtwinklige Dreiecke mit bestimmten Winkel-Maßen gebildet.

Auf diese Idee kamen die beiden als Schülerinnen 2022 bei einem Mathematik-Wettbewerb an ihrer Highschool in den USA. Eine Frage lautete dabei, einen neuen Beweis für den Satz des Pythagoras zu erstellen. "500 Dollar Preisgeld haben uns motiviert", schreiben sie. "Die Aufgabe erwies sich als viel schwieriger, als wir uns dachten. Wir verbrachten viele lange Nächte mit dem Versuch, einen Beweis zu erstellen, und scheiterten dabei."

Lob von Michelle Obama

Einige Monate opferten die Jugendlichen ihre Freizeit dem Vorhaben, arbeiteten sogar in den Ferien daran. "Es gab viele Momente, in denen wir beide aufgeben wollten, aber wir beschlossen durchzuhalten und zu beenden, was wir begonnen hatten." Am Ende gab es laut dem Verlag neben Auszeichnungen sogar ein Lob von Ex-First-Lady Michelle Obama und jetzt auch die wissenschaftliche Veröffentlichung der neuen Beweise.

"Ich bin sehr stolz darauf, dass wir beide einen so positiven Einfluss haben", erklärte Co-Autorin Johnson. Die beiden Autorinnen hätten gezeigt, dass junge Frauen dazu in der Lage seien, und "und damit andere junge Frauen wissen lassen, dass sie alles tun können, was sie tun wollen". Johnson studiert inzwischen Umwelttechnik an der Louisiana State University, Jackson Pharmazie an der Xavier University of Louisiana.